Desvendando a Regressão Linear

Desvendando a Regressão Linear
Ana  Duarte
Ana Duarte

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Não importa se você é uma pessoa novata ou mais experiente no mundo dos dados, mas é bem provável que já tenha ouvido falar da famosa regressão linear ou tenha ajustado uma reta para visualizar a relação entre dois fenômenos. Mas, cá entre nós, como esse algoritmo funciona? Ou ainda, o que acontece por trás da previsão de dados quando utilizamos essa técnica?

A regressão linear simples é uma metodologia que estuda a relação entre dois fenômenos, permitindo entender o efeito e a causalidade entre eles, além de prever novos valores. Para compreender melhor, vamos desvendar como ajustar a reta, interpretar e prever valores.

Ajustando a reta

A relação entre dois fatores é estudada pela regressão linear simples através de uma fórmula que desenha uma reta. Para entender melhor essa relação usaremos um dos estudos do economista John Keynes. Ele concluiu que os indivíduos tendem a aumentar o seu consumo conforme sua renda aumenta. Essa é uma versão simplificada da função de consumo também estudada no curso de Estatística com R: Correlação e regressão.

Na tabela abaixo, podemos visualizar as cinco primeiras observações do conjunto de dados que utilizaremos:

Tabela com os cinco primeiros valores de gastos e de renda. A tabela contém duas colunas: Gasto e Renda. Na coluna Gasto temos cinco valores: 3011, 1305, 1879, 2654, 2849, sendo um em cada linha. Na coluna Renda temos cinco valores: 9714, 3728, 6062, 8845, 8378, sendo um em cada linha.

Podemos criar uma relação entre gasto e renda da seguinte forma:

Fórmula de regressão. Da esquerda para a direita temos: gasto igual a beta zero mais beta um multiplicado pela renda.

Aqui, cada componente representa um conjunto de valores, sendo:

  • Gasto: gasto ou consumo das famílias
  • Renda: renda disponível
  • 𝜷0: consumo quando o rendimento é zero
  • 𝜷1: propensão marginal a consumir

Usando o conjunto de dados como exemplo, essa função desenha a seguinte reta Gasto = 207.9 + 0.3Renda + erro:

Gráfico da reta de regressão do gasto pela renda. Temos a Renda das Famílias no eixo horizontal com valores em um intervalo de 2500 e o Gasto da Famílias no eixo vertical com valores em um intervalo de 1000. No gráfico temos uma reta crescente e vários pontos próximos à ela, tanto acima quanto abaixo da reta.

Podemos perceber que quanto menor a renda (Y) menor é o gasto das famílias (X). Ao centro, há uma nuvem de pontos na qual foi ajustada uma reta linear crescente que nos permite entender o comportamento médio dos gastos familiares. Mas, como passamos da função Gasto = 𝜷0+ 𝜷1Renda + erro para Gasto = 207.9 + 0.3Renda + erro?

Independente dos seu conjunto de dados, será ajustada uma reta que genericamente podemos representar pela função abaixo:

Fórmula genérica da regressão linear simples. Y é igual à beta zero mais beta um multiplicado por X mais e. Y poder ser chamado de variável reposta, beta zero é o intercepto, beta um é o coeficiente angular , X é a variável explicativa, “e” é o erro.

Y é o conjunto de valores que depende de uma explicação e X é a variável independente e explicativa. No nosso exemplo, o gasto da família depende da sua renda. O 𝜷0 também chamado de intercepto é o valor de Y quando o 𝑋i é zero. Já o 𝜷1, o coeficiente angular, nos informa a taxa de variação e o quão inclinada nossa reta será apresentada.

Gráfico com eixo horizontal X e o eixo vertical Y. Nele temos uma reta crescente saindo de um ponto do eixo Y. No corpo do gráfico há alguns elementos explicativos: Beta zero é mostrado como a distância entre o eixo x e a posição em que a reta corta o eixo y, beta um é o ângulo entre a reta do gráfico e uma reta paralela ao eixo x. Por fim, temos a fórmula da reta: Y i é igual a beta zero mais beta um multiplicado por x i. Esta fórmula está em um retângulo e dele parte uma seta em direção à reta.

Ambos os parâmetros, 𝜷0 e 𝜷1, são desconhecidos e precisam ser estimados. Aqui não iremos nos estender nesse assunto, mas saiba que um dos processos mais utilizados para estimação desses coeficientes é o método dos mínimos quadrados. Em resumo, esse método cria uma reta mais próxima possível dos valores disponíveis a qual a diferença entre o valor real de Y e o valor esperado é mínimo.

A partir dos nossos dados e desse processo de estimação, podemos calcular os betas com as seguintes fórmulas:

Fórmula do beta um. Da esquerda para direita temos: beta um é igual a razão entre duas equações. No numerador temos o tamanho da amostra (n), multiplicado pelo somatório do produto entre X i e Y i menos a multiplicação entre o somatório de X i e Y i. No denominador temos o tamanho da amostra (n) multiplicado pelo somatório de X i ao quadrado menos o quadrado do somatório de X i.

Fórmula do beta zero. Da esquerda para a direita temos: beta zero é igual à média amostral de Y menos o beta um estimado multiplicado pela média amostral de X.

Fórmula de beta um com os valores dos conjuntos de dados. Da esquerda para direita temos, beta um é igual a razão entre as equações: 50 vezes por 716.683.794 menos 303275 multiplicado por 100556 dividido por 50 vezes 2.198.628.939 menos o quadrado de 303275. Resolvendo as equações do numerador e denominador, temos: 5338068800 dividido por 17955721325. Seu valor total é 0,297.

Fórmula do beta zero. Da esquerda para a direita temos: beta zero igual a 2011.12 menos 0,297 multiplicado por 6065.5 igual a 207,9.

Formando:

Gasto =  207.9 + 0.3Renda + erro

Você deve ter percebido que nem todos os pontos estão alinhados na reta que ajustamos. Para isso, precisamos adicionar o erro na nossa fórmula, e, que é justamente a diferença entre o valor observado e o valor fornecido** pela equação.

Gráfico com eixo horizontal X e o eixo vertical Y. No gráfico temos uma reta crescente e cinco pontos próximos à ela e identificados respectivamente como e1, e2, e3, e4, e5.

Agora que você já conheceu melhor todos os integrantes da regressão linear, é importante saber que a variável resposta (aquela que estamos tentando explicar e que depende de outros fatores), deve ser quantitativa, ou seja, deve apresentar valores numéricos.

No nosso caso, a variável resposta é o gasto familiar. Outros exemplos de variáveis são:

Tabela com 3 colunas mostrando exemplos de possíveis variáveis, o seu tipo e se é ou não apropriada para ser candidata à variável resposta de uma regressão linear, respectivamente. A variável gasto do mês aparece com valores de exemplo: 487 reais e 876 reais, é do tipo quantitativa e é apropriada à regressão linear. A segunda variável, Evasão, mostra como valor “evadiu” e “não evadiu”, é do tipo qualitativa nominal e não é apropriada para ser variável resposta de uma regressão linear. A terceira variável, Grau de escolaridade, mostra os níveis educacionais por números como: 1 para ensino fundamental,  2 para ensino médio, 3 para ensino superior e 4 para pós-graduação, é classificada em qualitativa ordinal e não é apropriada para ser resposta da regressão linear.

Se o que você procura estudar não estiver disposto em valores numéricos, capazes de tirar média e outras métricas, a regressão linear não é o método mais apropriado. Nesse caso, você poderá usar outras metodologias, como a regressão logística ou métodos de classificação.

Interpretando os valores

Você já ajustou a reta e também conhece cada um dos integrantes da nossa função. Vamos voltar ao exemplo e entender o que cada valor significa na prática?

Passamos de

Gasto = 𝜷0 + 𝜷1Renda + e

para

Gasto =  207.9 + 0.3Renda + e

No nosso caso, 𝜷0 é 207,9, ou seja, o consumo (quando não há renda) é de 207,90 reais. Já o coeficiente relacionado à renda (𝜷1) indica que, a cada um real a mais na renda, o gasto médio esperado aumenta, em média, 0,30 reais. Dessa forma, quantifica-se o efeito da renda sobre o gasto.

Prevendo valores

Imagine que uma família possui renda de 3 mil reais, quanto seria o gasto estimado segundo nosso modelo? Podemos substituir 3.000 na fórmula e obter um gasto esperado estimado de Gasto = 207,9 + 0,3*(3000) = 1107,9.

Gráfico da reta de regressão do gasto pela renda. Temos a Renda das Famílias no eixo horizontal com valores em um intervalo de 2500 e o Gasto das Famílias no eixo vertical com valores em um intervalo de 1000. No gráfico temos uma reta crescente e vários pontos próximos à ela, tanto acima quanto abaixo da reta. Temos também um ponto na cor rosa em cima da reta referente ao valor de três mil reais da renda familiar.

O ponto rosa no gráfico mostra nosso valor predito baseado na renda de três mil reais de renda familiar. Tenha em mente que a reta de regressão é capaz de quantificar a relação entre as variáveis explicativas e resposta e de prever um novo valor.

Há outros detalhes da teoria, mas, de forma geral, a regressão linear é uma metodologia que estuda a relação entre dois fenômenos. Por meio de uma fórmula, é possível compreender o efeito que a variável explicativa tem sobre a variável resposta, além de fazer previsões de novos valores.

Você pode aprofundar os conhecimentos com o curso Estatística com R: Correlação e regressão aqui na Alura. Além disso, pode usar outros conjuntos de dados como demonstrado no artigo Aplicando a regressão linear com R.

Ana  Duarte
Ana Duarte

Sou bacharela em Estatística e atualmente curso Ciência da Computação. Já atuei como cientista de dados no ramo educacional e financeiro e hoje sou instrutora na Escola de Dados da Alura e voluntária na equipe de projetos do grupo Data Girls. Sou apaixonada por transformar dados em informação inteligente usando a ciência de dados em diversos tipos de aplicação. Fora isso, sempre estou acompanhando alguma série e procurando novas rotas para andar de bike.

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