Modelos matemáticos utilizados em séries temporais

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Em nosso exemplo, queremos calcular o número de carros vendidos em um determinado mês. Ajustando uma reta à esses dados temos a possibilidade de inserir o valor de mês na equação e obter o número de carros vendidos como resultado. Neste caso, a equação da reta toma esta forma:

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Conhecendo esses coeficientes, podemos calcular qualquer ponto da reta, até os de 1970 em diante. É nesse ponto em que estamos fazendo uma previsão. Mas qual equação temos que ajustar no caso desta figura?

Modelos autorregressivos e de média móvel

A escolha de uma equação que ajusta uma série temporal sem o conhecimento prévio do problema é extremamente difícil. Neste caso, podemos pensar que queremos estimar o próximo ponto na série temporal e que existe uma dependência linear no tempo entre as amostras. Desta forma, podemos estimar o ponto seguinte y_t através do conhecimento de um ponto anterior y_{t-1}.

(3)

A equação 3 é um exemplo de modelo autorregressivo. Nela, o c é uma constante e phi_1 é o coeficiente que devemos determinar para estabelecer uma relação entre o y_t e o y_{t-1}. Porém, a estimativa de y_t pode depender de mais pontos da série temporal.

Imagem que a cada x segundos você observa um evento com uma forma característica, um evento sazonal, por exemplo. Neste caso, precisamos de uma versão generalizada da equação 3 que considere p pontos anteriores da série temporal. A equação a seguir cumpre este papel.

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Na equação (4) o épsilon representa o ruído aleatório que pode estar presente nos nossos dados. A equação 4 recebe o nome de modelo autorregressivo.

Mas existem outros tipos de modelos que podem ser ajustados a uma série temporal. Outro exemplo de modelo é o de média móvel. Este tipo de modelo é escrito na seguinte forma:

. (5)

Repare que na equação 5 os termos theta_q são os coeficientes que queremos encontrar e os termos épsilon representam as amostras de ruído aleatório. Ou seja, estamos procurando os coeficientes que fazem com que o ruído aleatório adquira as características dos nossos dados.

Da combinação dos modelos autorregressivos e de média móvel, temos modelos ARMA. A determinação da ordem p e q desses modelos pode ser feita através da análise das funções de autocorrelação e autocorrelação parcial. Uma alternativa é a utilização de algoritmos que realizam uma busca, ajustando modelos de ordens diferentes na série temporal, como a função AutoArima da biblioteca pmdarima.

Estacionariedade

Os modelos ARMA precisam que a série temporal seja estacionária para serem aplicados. Ou seja, eles precisam que a série temporal não possua tendência ou sazonalidade. Quando a série não é estacionária, aplicamos modelos ARIMA. O ‘I’ do ARIMA está ligado a um processo que permite transformar uma série temporal não estacionária em uma série estacionaria. Terminado esse processo, é adotado um modelo ARMA para a previsão. .

Facebook Prophet

Porém, existe uma alternativa quando a série não é estacionária. Esta alternativa é a aplicação de um modelo que ajusta a série, considerando características não estacionárias como tendência e sazonalidade.

O modelo ajustado pelo FBProphet é do tipo:

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Neste caso, a série usa o termo g para modelar a tendência, o s para as mudanças periódicas e o h para efeitos específicos, como: feriados. A tendência pode ser modelada como uma equação de reta (1). Já, a parte sazonal, utiliza série de Fourier:

. (7)

Em (7) P é igual a 365,25 no caso de sazonalidade anual. Se as séries de Fourier não são familiares para você, repare que elas são uma combinação de funções seno e cosseno. Funções seno e cosseno, mais ou menos, apertadas conseguem modelar os efeitos sazonais com períodos e fases diferentes.

Espero que estes conceitos tenham te ajudado a entender um pouco mais sobre a previsão em séries temporais. Aqui na Alura, você pode começar os seus estudos sobre o tema no curso Análise de série temporal: COVID-19 e Data Science: análise de séries temporais para previsão.