Symfony é um framework open-source de PHP para aplicações Web, que nasceu inspirado no Spring Framework do Java.
Com Symfony você pode criar sistemas web mais rápido e com uma manutenção mais fácil, ele também possibilita que você não tenha que fazer tarefas repetitivas usando código.
Symfony também contém bibliotecas de componentes reutilizáveis.
Doctrine é um conjunto de bibliotecas que tem como objetivo prover persistência, ele contém vários componentes e pacotes. Nesta formação você vai conhecer e utilizar o ORM (Object Relational Mapper), uma ferramenta que auxilia a mapear um modelo orientado a objetos para um modelo relacional no banco de dados.
Além de nos poupar de escrever SQL, o Doctrine nos auxilia na migração entre bancos de dados - por exemplo, facilitando a migração PostgreSQL para Oracle. O Doctrine também ajuda no versionamento do banco de dados, ou seja, no acompanhamento das modificações do banco, o que é feito por meio de Migrations.