Primeiras aulas do curso Matemática: Introdução ao cálculo de integrais

Matemática: Introdução ao cálculo de integrais

Introdução - Introdução

Olá, meus caros alunos! Sejam bem-vindos a mais um curso da Alura. Esse é o nosso curso de integrais, ou cálculo de integrais. Nesse momento, eu vou falar do panorama do curso, o que a gente vai ver no curso como um todo.

A primeira aula é uma introdução, na qual eu apresento os conceitos. Na segunda aula nós vamos calcular a integral, eu vou explicar a motivação da onde vem a integral e como calculá-la, como realizar essa soma. Depois, na outra aula a gente define integrais definidas e indefinidas.

Vamos para Técnicas de Integração, ou seja, eu vou explicar pra você direitinho como é que você calcula uma integral na mão. E o interessante do nosso curso é que também ensinamos como você pode usar o computador, no caso o programa Maxima, para realizar as suas integrais.

E finalizamos com aplicações práticas, na última aula, cuja aula chama-se “Aplicações envolvendo integrais”.

Então vamos falar agora de cada um desses tópicos pra gente. "Introdução ao Cálculo de Integrais" a gente começa a definir a integral, calculando a área de funções curvas, superfícies curvas e assim por diante.

No segundo vídeo, nós calculamos a área usando retângulos, nós aproximamos a área. No terceiro vídeo, eu defino informalmente para a gente a ideia da integral, de onde ela vem, usando esses retângulos. E em seguida eu digo pra vocês, onde mais eu uso integrais?

Quer dizer, na vida prática, você que é profissional de engenharia, física, química, não importa, onde você usa integrais? Eu apresento por cima alguns exemplos muito práticos.

Depois da segunda aula, em seguida eu explico direitinho como calcular a integral a partir desses fatiamentos, a partir das somas e primeiros princípios, nós calculamos essas somas.

Eu apresento a definição mais formal da integral, a definição do matemático Riemann, como fazer a soma de Riemann. E, em seguida para terminar essa aula, nós usamos o computador.

Nós usamos um programa gratuito, que é o Maxima, que ajuda fortemente a gente a resolver qualquer tipo de integral. É muito interessante esse ambiente.

Em seguida, nós vamos para a integrais definidas; os extremos da integral definida, que uma integral tem um começo e tem um fim bem marcado.

Depois eu falo do Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona a integral que vocês estão aprendendo neste curso, com a derivada que nós vimos em um curso anterior na Alura. A gente também tem um curso de derivadas.

Em seguida, eu falo das integrais indefinidas, que vem como uma generalização da integral definida.

Depois nós falaremos de Técnicas de Integração, onde eu ensino você a realizar substituição; substituição em integrais definidas; usando o computador para calcular mais algumas integrais; depois a Integral por Partes, que é uma técnica muito importante; e finalmente Frações Parciais, que é a última técnica quando eu tenho frações na integral.

E, para finalizar o curso, a última aula eu aplico as integrais em equações diferenciais separáveis, onde nós iremos estudar o decaimento radioativo de uma substância.

Depois, iremos estudar o crescimento populacional; trabalho e energia em física; engenharia: coordenadas do centro de massa de figuras planas, isso é muito importante para a engenharia civil ou engenharia mecânica;

Economia, onde nós estudamos excedente do consumidor e finalmente nós apresentamos a Probabilidade e Estatística do ponto de vista da integral. Então, esses são os assuntos do nosso curso, e espero vê-los na próxima aula. Muito obrigado pela atenção.

Introdução - Calculando área

Olá, meus alunos! Nesta aula nós vamos dar a principal motivação que dá origem ao cálculo de integrais. A nossa motivação real é calcular a área de revestimento de um saguão que tem a forma de elipse.

O que eu quero saber na aula de hoje? Eu tenho um saguão, ele tem o formato de uma elipse, ou seja, muito parecido com círculo, e eu quero gastar a quantidade adequada em revestimento de porcelanato em metros quadrados, e saber quanto que eu vou gastar, ou seja, otimizar esse processo.

Temos aqui uma elipse, e toda elipse tem uma forma matemática muito precisa. Por exemplo, aqui temos o eixo x, o eixo y, e toda elipse é descrita por uma equação matemática que tem essa cara.

a, b e c são coeficientes reais, o x marca todos os valores na horizontal, o y marca todos os valores métricos na direção vertical e abc têm que ser coeficientes reais e positivos. Vamos ver um exemplo:

2x² + 3y² = 15

Na verdade, o gráfico que está aqui ao lado é o gráfico desta elipse particular, com esses coeficientes 2, 3 e 15. Tendo em mente que se os coeficientes a e b forem iguais, essa elipse se transforma em uma circunferência de raio muito bem determinado.

O arquiteto elaborou essa elipse para a gente, o fundo do saguão tem essa fórmula matemática. O Oscar Niemeyer, um arquivo qualquer, quis que fosse assim. A gente quer saber qual é a área que a gente vai gastar para cobrir aqui.

Como a gente tem uma simetria com relação ao eixo x, ou seja, a parte superior da elipse é exatamente igual à parte inferior, basta que a gente calcule a área desse setor ou, por exemplo, a área do setor positivo, x positivo e y negativo, e depois multiplicar por 4.

Por exemplo, a porção superior da elipse tem essa carinha. Qual é a nossa estratégia aqui? O que a gente sabe em termos de área? A elipse tem simetria nos 4 quadrantes, logo, basta calcular a área do primeiro quadrante e depois a gente multiplica por 4.

O que nós vamos fazer aqui é uma aproximação. A gente não sabe calcular a área de uma elipse, mas a gente sabe calcular a área de um retângulo. Vamos lá ver, então, como é que fica.

Essa nossa elipse tem 2.73 metros de comprimento no eixo x e 2.20, quase 2.30 metros na direção do eixo vertical, que é o eixo y. Vamos aproximar a elipse por um retângulo. N=1 é retângulo que melhor aproxima a área da elipse.

Se eu fizer o cálculo da área desse retângulo, o que eu tenho que fazer? Basta multiplicar a largura da base do retângulo, que é 2.73m, vezes a altura do retângulo, que é 2.23m. Nós obtivemos 6.10m², que é a área dessa porção desse retângulo.

Só que salta aos nossos olhos o quê? "Professor, mas a área desse retângulo não é maior do que área da elipse?" É, de fato é. Então aproximar a área dessa porção da elipse por apenas um retângulo não é uma boa aproximação. Qual o nosso truque? Vamos usar mais retângulos.

Vamos lá, acompanhe a gente aqui no próximo.

Vamos escolher agora quatro retângulos menores. Vimos que a aproximação com N=1 não é boa, vamos agora tentar com N=4 retângulos. Então nós substituímos aquele retângulo grande por quatro retângulos menores.

Eu vou somar a área desse retângulo, mais a área do próximo retângulo e assim sucessivamente até o quarto retângulo. Então essa é a nossa aproximação aqui.

Aí acontece o contrário, você vai dizer pra mim: "Professor, mas a área dessa elipse agora não é maior que a soma das áreas dos retângulos?" De fato, é.

Eu tenho aqui a área total de todos esses retângulos, que é a soma da área de cada um deles. A área 1, que é a área do primeiro retângulo, a área 2 do próximo retângulo, a área 3 desse retângulo aqui, e finalmente mais área 4 do retângulo menorzinho.

Qual é a nossa estratégia aqui? Vamos por partes. Qual critério de dividir essa figura em retângulos? O que eu fiz aqui foi o seguinte: eu peguei essa largura, que é 2.73m, e dividi por quatro retângulos cuja base de cada retângulo é igual.

Então, o que eu tenho que fazer? Eu pego 2.73 metros e dividido por 4. Se você fizer essa conta, você vai obter 0.68 metros, ou seja, cada retângulo aqui tem largura igual à 0.678 metros, quase 70 centímetros.

E a altura vai depender da posição, vai depender da função que descreve a minha elipse. Vamos lá, estão vendo aqui na figura? 0.68 metros é a largura de cada retângulo.

O próximo passo aqui é, nós temos que descobrir qual é a posição de cada uma dessas arestas verticais. Eu tenho uma aresta aqui, porque eu tenho que saber qual é a altura do retângulo.

Eu sabendo a altura do retângulo, eu sei calcular a área de cada um deles. A gente vai fazer aqui uma partição. A gente começa do 0, e a posição de cada uma dessas retas verticais é dada por uma fórmula 0.68i, onde i é um inteiro.

i=1, i=2, i=3, i= 4, então esse i aqui é um inteiro. A posição de cada uma dessas arestas verticais aqui te dá essa altura, te dá a altura de cada retângulo. Eu fazendo o produto da altura de cada retângulo pela base, eu vou ter a área de cada um desses retângulos. Então vamos fazer esse cálculo.

A área do i-ésimo retângulo, onde i vale 1, 2, 3 e 4, é a base dele x altura. O que é a base? A gente vai chamar de Δx, mas essa base a gente já sabe: 0.68m vezes y, que é altura do retângulo. Mas o que é a altura do retângulo? É a raiz quadrada de quem? 5 - ⅔ x (0.68 x i)².

Você vai perguntar: "Professor, da onde vem essa fórmula essa fórmula?" Essa fórmula aqui vem da primeira fórmula que me descreve a elipse. Vamos voltar naquela fórmula de elipse:

3y² + 2x² = 15, a nossa elipse.

Vamos resolver o y aqui em termos de x. Eu passo o 2x² pra lá e divido todo mundo por 3, porque o 3 multiplica o y. Fazendo essa conta eu tenho 15 dividido por 3 dá 5, que é o primeiro termo, e depois eu tenho 2/3x², mas eu não quero y². Quem eu quero é o y, então eu tenho que tirar a raiz quadrada.

Tirando a raiz quadrada eu tenho ±√5 - 2/3x², por isso que eu tenho essa fórmula aqui. E finalmente eu substitui o x por aquela partição. Vocês estão lembrados que o x era 0.68i. Então essa é a fórmula que me dá a área de cada retângulo.

Estamos terminando, então o que a gente faz é a soma. Se vocês fizeram a soma na calculadora, no computador, não importa, vocês vão ter aqui: a área do primeiro retângulo, usando a fórmula, é 1.477m², a área do segundo é 1.3 e assim por diante.

Então eu tenho que somar todos esses elementos. Se eu fizer a soma, eu vou ter que a área daqueles quatro retângulos, quer dizer, somando área de todos eles, vai me dar 3.93m², quase 4m².

Portanto, como esse é um setor, se eu multiplicar por 4, eu tenho quase 16m² como uma boa aproximação para área daquela elipse.

Só que o que vocês estão notando aqui é o seguinte, eu tenho pequenas sobrinhas, então a minha aproximação com quatro retângulos não é muito boa. Se eu aumentar o número de retângulos, a minha aproximação melhora.

Essa é a ideia da integral, eu substituir a partição por um número realmente muito grande de retângulos.

Introdução - Calculando área mais Retângulos

Olá, meus alunos! Sejam bem-vindos a mais uma vídeo aula.

Na vídeo aula de hoje, nós vamos dar prosseguimento àquela partição que nós usamos para elipse do caso anterior. Na partição da vídeo aula anterior, nós tínhamos usado quatro retângulos, N=4. Na aula de hoje vamos usar N=8 e um número maior. Vamos ver o que vai acontecer.

Vamos voltar lá na figura. Se nós pegarmos aquele setor da elipse, que é o primeiro quadrante, e dividirmos em oito retângulos, nós temos oito retângulos com todos eles abaixo da elipse.

Então como é que a gente faz para obtermos a partição? A gente faz o seguinte: essa largura aqui da elipse no eixo x é 2.73m, então eu divido por 8 para que cada retângulo tenha a mesma base, como a gente fez no exemplo anterior.

(2.73/8) = 0.34. 0.34 é a largura de cada um dos retângulos. Todos eles têm a mesma largura, embora a altura seja diferente em cada um.

Como é que a gente faz pra gente obter a área de cada um desses retângulos? A área é a base, que é a mesma, 0.34 vezes a altura. Nós temos aqui oito alturas. Essa altura depende da posição dessas retas verticais, então para identificá-las eu uso um número i, um rótulo i que é inteiro. i vale 1, 2, 3, até 8, portanto aqui tem um x², só que o x está rotulado por i.

Qual é a coordenada de cada x aqui? É 0.34i, e aqui eu tenho que colocar ao quadrado. Portanto eu pego essa raiz quadrada, que é justamente essa altura, e eu tenho que multiplicar pela base. Essa é fórmula da área de cada retângulo, ou seja, de cada fatia.

Eu substituo por i um número de 1 até 8, cálculo cada área e somo. Assim a gente vai fazer. Eu tenho a área do primeiro, assim por diante até o último.

Vocês podem usar a calculadora, o computador ou fazer manualmente, não importa. Se eu calcular a área da primeira fatia, que é essa base x altura, eu tenho 0.75m² e assim por diante.

A área do segundo retângulo é essa base x altura, que vai dar 0.73m². O último retângulo, que é o menorzinho, ele tem 0.06m², então eu tenho que somar todo mundo.

Se eu somar todo mundo, eu tenho 4.40m², isso é a soma da área de todos esses oito retângulos. Claramente é menor do que a área ocupada por essa fatia da elipse, mas a minha ideia aqui é aumentar o número de retângulos, e com isso a quantidade dessas sobras vai diminuindo. É isso o que a gente vai fazer.

Se eu aumentar o número de retângulos, a aproximação evidentemente melhora, se eu o número de retângulos a precisão também aumenta. Então eu tenho aqui N=8, mas se eu pular para N=32, compare a situação.

Aqui eu tenho uma quantidade de sobras entre o retângulo e essa porção, e aqui a situação ainda não é muito boa, mas melhora consideravelmente. Aqui eu vim de N=8 para N=32. 32 retângulos. A soma das áreas de todos eles é bem próxima da área dessa fatia, dessa porção da elipse. A aproximação está ficando muito legal.

De novo, para N=8 agora eu vou introduzir uma notação que indica a somatória. O símbolo de soma é esse símbolo, um símbolo padrão. O i que é um rótulo vai de 1 até o 8, o rótulo eu coloco aqui do lado.

Então fica: A1 + A2 até o último que é o 8, onde cada um desses retângulos aqui têm sua formulazinha. 0.34125 vezes a raiz quadrada vezes i, onde i é um inteiro de 1 a 8 (isso para N=8). De novo, eu tinha feito aquela soma e, na verdade, o que gera essa tabela de valores da área é justamente essa formulazinha.

E para 32 é a mesma história. O que eu tenho que fazer? Eu pego 2.73, dividido por 32, que é o número de retângulos que eu quero, e agora a base menor. Agora vou somar indo de 1 a 32; eu faço a mesma coisa: eu pego a raiz quadrada, multiplico por essa base. Moral da história: se eu fizer a mesma soma, eu tenho agora 4.71m².

Mas agora você está reparando, você aluno atento, você vai reparar que a situação está começando a ficar entediante, não é verdade? Eu tenho aqui a minha fórmula, que é simples de ser deduzida, para a área de cada fatia, só que a situação começa a ficar entediante com muitos retângulos.

Então vamos ao computador, porque você fazer a mão 32 somas é meio ruim. Vou pegar o nosso programa que a gente usou nos cursos anteriores, o Maxima. Aquela somatória, como é que eu coloco ela no Maxima? Eu escrevo “sum”, que indica a soma, eu escrevo a base, que é 0.0853, e multiplico pela raiz quadrada. Quem é a raiz quadrada no Maxima? É "sqrt", vezes a expressão.

Lembra que a expressão dentro da raiz quadrada era 5 - ⅔ x². Só que o x era 0.0853.i, o i é o inteiro, só que esse está ao quadrado, e toda expressão dentro da raiz quadrada. Toma cuidado com a colocação do parênteses, porque só esse termo está dentro da raiz quadrada, e esse cara está na frente da raiz quadrada.

Qual é o segundo parâmetro dessa fórmula sum, que é soma? É o rótulo da soma, que nesse caso é o i, mas pode ser i, j, você que escolhe. E aqui eu indico da onde ele começa, i = 1, e onde ele acaba.

Vocês estão lembrados que agora eu tenho 32 retângulos, então 32. Eu termino com simpsum, a fórmula simplificada, e ponto e vírgula. Se apertar "Enter", ele vai dar 4.71m². Deixa eu fazer manualmente para vocês verificarem.

sum(0.0853·sqrt(5-⅔)·0.0853·i), toda essa expressão ao quadrado. Finalmente eu escolho o rótulo, que é o i, eu escolho o início do rótulo que é 1, que ele vai do primeiro retângulo até o último. Finalmente eu quero uma soma simplificada, simpsum, é a sintaxe.

Ou, existe outro caminho, também, para realizar essa soma. Qual é? Vocês vão aqui em “Cálculo”, “Calcular soma” e vocês preenchem esse painel aqui. Aqui fica uma outra maneira de fazer a mesma conta.0.853, vezes a expressão que você tem.

Ou, ainda, se você preferir você pode definir a expressão, f índice i, e dar o nome para ela. Deixa eu copiar e colar aqui que vai ficar mais fácil, a gente economiza um pouco o tempo. Copio, colo. sqrt(5-⅔)·0.0853·i)², essa é a minha expressão em termos de i.

Então eu uso lá na fórmula. Eu vou em “Cálculo”, “Calcular soma”, e eu coloco f índice i, sendo que a minha variável i vai de 1 até 32. Está lá, ele fez a soma.

Vocês podem realizar essa soma no Maxima de diversas maneiras possíveis. O jeito mais interessante é vocês realizarem da maneira que eu fiz agora. Vocês definem uma função em termos do rótulo i, e usam o recurso “Calcular soma” e preenchem um painel, ou sintaxe do começo ao fim.

Então, essa finalmente é a soma aqui.Como vocês viram, a situação fica entediante. Você tem muitos termos, essa soma é muito grande, e eu usei o computador.

E se a gente usar infinitos retângulos? A aproximação fica muito melhor. Nem dá para ver cada um, mas olha que a área ficou muito legal. É aí que a gente chega na integral, ou seja, quando a soma dessas retângulos for infinita, aquela soma, na verdade, é o que a gente chama de integral.

Então, quando o número de retângulos tende ao infinito, nós trocamos o símbolo de somatória, que é essa soma aqui, pelo símbolo de integral.

Eu tenho o limite, só que agora o número de retângulo tende ao infinito, o i vai de 1 até N, o número de retângulos infinito, a expressão que eu quero, no caso é a curva que define aquela aquela elipse, vezes o delta x, que é a largura de cada retângulo.

Aqui eu tenho uma anotação muito mais, digamos assim, sintética, muito mais elegante, que vai ser a tônica do nosso curso do começo ao fim. E aqui a integral de 0 até 2.73.

Chegamos ao fim dessa videoaula. Nas próximas aulas eu explico como a gente faz essa conta usando o computador e manualmente. Muito obrigado pela atenção.

Sobre o curso Matemática: Introdução ao cálculo de integrais

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