Primeiras aulas do curso Matemática: Funções e seus usos

Matemática: Funções e seus usos

Introdução às funções - Introdução

Olá, meus caros alunos. Sejam muito bem-vindos ao curso de funções oferecido na plataforma Alura. Essa é a “Aula 1.1”, que é a introdução, um panorama do nosso curso, ou seja, o que iremos ver nesse curso.

Deixe-me me apresentar. Meu nome é Paulo Sérgio Custódio, eu tenho doutorado na área de astronomia pela Universidade de São Paulo com ênfase em astrofísica e cosmologia. O meu doutorado foi na área de física, também nessa mesma universidade.

Então, vamos lá: o objetivo dessa introdução é apresentar o panorama do curso. A aula 1 é composta de algumas videoaulas curtas. A primeira videoaula, eu trato do problema de otimizar o custo de fabricação de uma embalagem: eu tenho uma embalagem e eu tenho o interesse de minimizar o custo de fabricação desta embalagem. Eu mostro como modelar esse tipo de problema através de uma função.

Na segunda videoaula, eu apresento o conceito prático de função. Como uma caixa preta: você entra números e ela gera outros números como saída.

Em seguida, eu explico funções no ambiente Maxima, que é um programa gratuito. Eu já vou mostrar o link para vocês baixarem. Esse programa, apesar de gratuito, é muito robusto, muito bom. Você pode definir as funções, calcular valores das funções, realizar o gráfico das funções, entre outras coisas.

Finalizamos a Aula 1 com previsões com as funções úteis. Previsões que nós podemos obter analisando, entre outras coisas, o gráfico da função.

Na Aula 2, eu apresento ao aluno como uma função varia, conforme as variáveis das quais ela depende, também varia. Então, é um estudo da variação da função em termos do que ela depende. É uma aula muito importante.

Aqui, eu tirei um print screen da tela do programa Maxima. Ou seja, depois que vocês instalarem, vocês verão que a cara do programa é essa. Ele é um programa muito interessante, muito bom, cheio de recursos. É capaz de faturar, calcular raízes, uma série de coisas. E ele é grátis, isso é importante. E ele é baixável nesse link: “maxima.sourceforge.net”. Esse programa, juntamente com o programa Desmos - eu irei apresentar os dois no curso - irão nortear o nosso curso.

O nosso curso tem os conceitos teóricos, mas ele é muito prático, também. Vocês vão gostar. Na Aula 3, nós estudamos a variação média de uma função e finalizamos a Aula 3 com os conceitos de domínio de função, imagem e quando uma função está inversa ou não. Quando ela é inversível.

Na Aula 4, eu apresento alguns exemplos de funções: polinômios, funções trigonométricas - seno, cosseno, tangente - juros simples e compostos - como exemplo de mais uma variável - e finalizamos com a função exponencial. Eu também utilizo o programa Maxima para calcularmos as raízes em geral dos polinômios utilizando esse programa. Ele é muito bom para isso, também, entre outras coisas.

Nós finalizamos o curso na Aula 5, que eu apresento um modelo para o crescimento populacional: população de bactérias, pessoas, tanto faz. Depois, eu descrevo as considerações gerais, como nós usamos funções no dia a dia, de onde elas vêm do ponto de vista profissional, o que você vai fazer no dia a dia, ou seja, as funções não vêm do nada. Eu vou explicar de onde elas vêm e qual é a motivação que está por trás delas. E, depois, nós terminamos com as conclusões.

Também convido vocês, agora, depois de finalizar o curso de funções, a vocês se inscreverem no curso de derivadas, que dá continuidade natural a esse curso. Eu espero que vocês tenham gostado dessa introdução, que é o panorama. E nos vemos na próxima aula.

Introdução às funções - Otimizando Custo Embalagem

Olá pessoal! Sejam muito bem-vindos ao nosso curso Introdução às Derivadas. Nós vamos começar com a “Aula 1.2 - Otimizando o custo de fabricação de embalagens”.

Nós temos um problema prático, aqui, muito interessante que irá nos motivar ao estudo das derivadas. Esse problema prático consiste em minimizarmos o custo de fabricação de uma embalagem. Essa embalagem é um retângulo de base quadrada que irá conter dois litros de um suco. Quer dizer, a nossa empresa vai fabricar essas embalagens e nós vamos preenchê-la com suco.

Vamos começar com a formulação do problema. Problema de fabricação: nós temos uma caixa com tampa que deve ser construída com base quadrada, de “lado a” e “altura b”, ambos em centímetros.

Essa caixa deve conter 2 litros e deve ter área mínima, de modo a reduzir custo de fabricação. Porque nós desejamos construir uma embalagem de suco, mas que custe o mínimo por unidade, porque nós podemos ter como passar um custo interessante para os nossos clientes.

Só que nós temos um vínculo adicional ao nosso problema. Além dessa caixinha, dessa embalagem ter que conter 2 litros, ela ainda tem que satisfazer ao seguinte vínculo: o fornecedor cobra um centavo o centímetro quadrado. Quer dizer, nós temos grandes placas quadradas de cartão, iremos desenhar uma planificação de uma embalagem retangular e o custo é um centavo por centímetro quadrado. Esse vínculo tem que ser levado em conta.

Então, vamos dar uma melhorada na formação do problema? Qual é o problema em si? Qual deve ser o tamanho dessa caixa - quer dizer, qual deve ser o “lado a” e qual deve ser a “altura b” - de modo que esse custo seja mínimo?

Então, aqui, eu vou desenhar para vocês a caixa. Ela está deitada, tem base quadrada, “lado a” e “altura b”. Ela tem que conter 2 litros de suco, essa é a exigência de mercado, digamos assim. Lembrando-se que cada centímetro quadrado da embalagem do fornecedor, ele cobra por centímetro quadrado, como eu tinha acabado de explicar.

Agora, nós chegamos em uma etapa muito interessante do nosso problema: tentar montar a formulação matemática do problema para que nós atuemos com ferramentas, programas, para minimizarmos esse custo. Figuras nos ajudam a montar essas equações.

De novo, nós temos, aqui a caixa. A base é quadrada, certo? Nós planificamos esse recorte porque, na prática, nós temos esse tipo de desenho que vai ser recortado. Então, vamos especificar no desenho quais são as dimensões.

Aqui, nós temos o fundo da caixa. Tem “A=a²” porque é quadrado, lados a. O fundo e a tampa têm a mesma área. Cada lateral tem área “A= b”, por quê? Porque a altura da caixa é “b”. Em princípio, “b” é diferente de “a”. E aqui, para poder casar na hora que nós fecharmos, essa medida tem que ser “a”, também.

Esse é o desenho planificado do cartão, digamos assim - tipo uma cartolina - que vai ser recortado pelas máquinas para fazer a embalagem.

Bom, visto que nós temos o desenho, nós temos que minimizar o quê? A área. Lembra que, quanto mais área tiver essa embalagem, maior é o seu custo porque o custo é constante. Então, veja só: se nós temos um fundo com área “a²”, o fundo e a tampa têm a mesma área. Então, nós temos uma contribuição, aqui: “a²” para o fundo e para a tampa. Então, eu tenho “2a² + 4ab”, porque eu tenho 4 laterais – “ab”, “ab” e “ab” - de mesma área.

A partir do desenho, - ou seja, a partir do diagrama - ele nos convida a montarmos a equação que descreve a área da nossa figura, ou seja, da nossa embalagem, e essa área depende de duas variáveis, “a” e “b”. Lembre-se que a e b são medidas em centímetros. Com o desenho, nós podemos equacionar o problema.

Lembre-se que o outro vínculo do nosso problema, além do custo por centímetro quadrado, é o volume. Vocês estão lembrados que exigimos que essa embalagem contenha 2 litros. Então, vamos lembrar da matemática do colégio, matemática básica: um retângulo, uma caixa retangular com esse formato. Como calculamos o volume? É a área da base vezes a altura. Veja que a base tem área a ao quadrado e a altura tem dimensão “b” em centímetros.

E essa embalagem tem que conter 2 litros. - Ou seja, “2000 cm³” - Então, qual é a nossa fórmula? Qual é a equação aqui? “a²”, que é a área da base, vezes a altura “b = 2000”. Nós temos, por enquanto, duas equações para trabalharmos nesse problema.

Vamos tentar simplificar o modelo. Vamos voltar: temos uma função, a função área, que depende de duas variáveis, “a” e “b”, que é “= 2a²” - fundo mais tampa – “+ 4 ab” - que são as laterais.

E além disso, o volume é um vínculo porque o produto da área da base vezes a altura deve ser 2000 cm³. Que é o volume, então. E vamos estudar o que? A função área. Veja que o nosso objetivo é qual? É minimizar o custo. O custo vai ser proporcional a função área porque o fornecedor cobra área, um centavo por cm². Então, nós temos que, de alguma maneira, minimizar essa função, dado que ela tem que respeitar esse vínculo.

Agora, salta aos olhos o que, aqui? Você vai falar assim para mim: "puxa, professor. Eu tenho uma função com duas variáveis, “a” e “b”, “2a² + 4ab”. Tem como simplificar essa equação antes de tratar o problema?” Tem.

Se vocês observarem bem, essa equação que descreve o volume permite que eu isole o “b” em termos de “a”, basta em pegar o “a²” e passar para o lado direito, dividindo. Então, o meu parâmetro “b” - que é a altura da caixa - vale quanto? “2000 cm³/ a²”.

Se eu substituir esse valor de “b” na equação acima, - que é a função de “a”, “b”, a função área, - eu vou ter uma função que vai depender só de uma variável. Se ela depende de um número menor de variáveis, essa minha função fica mais simples de lidarmos e tratarmos. Então, isso é o que vamos fazer agora, esse é o nosso próximo passo: a equação da área ficar com uma variável, apenas.

Então, o que eu vou fazer? Vou pegar a minha constante, - que é a altura da caixa, “2000/a²” - e vou substituir onde? Na fórmula que descreve a área: “2a² + 4 ab”. Se eu proceder com esse cálculo, onde eu vou chegar? O “b” vale “2000/a²”. Eu substituo, cancelo um “a” com uma potência desse “a”, - que aqui está multiplicando e, aqui, está dividindo - e o “4” eu multiplico por “2000”. Finalmente, esse termo fica “8000/a”.

Mas o que é interessante agora é que eu tenho uma função área que descreve a forma da minha caixa e ela vai depender só de uma variável, não duas. Aí, você vai pensar: “Poxa, professor. Se eu obtive uma simplificação e diminui o número de variáveis, meu problema fica mais tratável, é isso? Fica mais simples?” Claro, exatamente isso.

Agora, o que nos falta? Vocês estão lembrados que, agora, a minha função área depende de uma variável, a variável “a”? “2a² + 8000/a”.

Vocês se lembram da formulação do enunciado do problema, que o nosso fornecedor cobra um centavo por cm². Então, se eu multiplicar um centavo, - que é 0,01 do real - vezes a função área, eu vou obter a função custo, que é proporcional a essa área. Ou seja: se a embalagem for maior, ela custa mais caro. Se ela for menor, ela vai ser mais barata, e é isso o que eu quero.

O que eu vou fazer? 0.01 vezes essa função “A - A(a)” - é “= 0.01” vezes “2” – “0.02” - vezes “a² + 0.01” vezes “8000”, que dá “80”. Então, a minha função custo - que descreve o problema - é essa fórmula aqui: “0.02a² + 80/a”. Lembrando que o “a” é a dimensão linear da base, a base quadrada de lado “a”. Chegamos ao final dessa nossa pequena aula, que é só um começo para todo o curso.

Vamos formular o problema usando boas práticas. Essa função “C(a)”, nós chamamos de função objetiva do problema. Ela vale “0.02a² + 80/a”. Qual é o nosso objetivo nesse problema? Maximizar o custo ou minimizar? Eu quero minimizar o custo. Então, eu vou escrever essa palavra-chave "min," que significa minimizar. Se eu quisesse maximizar, eu colocaria “max”, maximizar. Não é o caso, nós queremos minimizar o custo. Sujeito ao vínculo de que o volume da nossa embalagem de suco é 2000cm³.

Nas próximas aulas, nós vamos continuar a tratar esse problema com mais detalhes e vamos deduzir qual é o valor do mínimo.

Introdução às funções - Revendo o Conceito de Função

Olá, pessoal! Sejam muito bem-vindos à mais uma aula do nosso curso “Introdução às Derivadas”. Agora, nós vamos ver o tópico “1.3 - Revendo o conceito de função - Uma função encarada como uma caixa."

Bom, função como uma caixa. Temos aqui, pessoal, uma função; demos um exemplo na aula passada mostrando uma função custo que associava o tamanho da base de uma embalagem ao custo em reais de fabricação daquela embalagem.

O que nós tínhamos lá? Nós tínhamos um valor, nós inserimos um valor em uma determinada função, que é uma regra operando com operações aritméticas, multiplicação, divisão, etc. e nós obtínhamos o quê? Valores. Esses valores tem uma interpretação: valor monetário, custo, etc. e tal.

Nós temos que encarar uma função, conceitualmente falando, como se fosse uma caixa. Dá uma olhada aqui, nós temos uma caixa. Então, uma função “f(x)” é uma caixa que recebe números e devolve outros números. Esse é o conceito que eu desejo deixar na videoaula de hoje.

Qual é a ideia? Nós temos um número, um objeto matemático, é uma variável. Eu uso esse objeto. Eu vou inserir esse objeto nessa caixa - note que, nesta analogia conceitual, essa caixa não tem nada a ver com a caixa da embalagem do suco, é apenas uma analogia que mostra que dentro desta caixa, que tem engrenagens. Quais são essas engrenagens? São operações matemáticas que vão agir sobre esse número.

Porque a analogia de uma caixa? Porque não nos interessa em detalhes saber o que está acontecendo dentro da caixa, o que importa é o quê? O resultado final. Qual é o resultado final? É a função “f(x)” que nós iremos obter. Vamos voltar: eu tenho um número “x”, eu coloco esse número dentro dessa caixa, que gira essas engrenagens, essas operações matemáticas e nos devolve outro número, que é a função calculada naquele valor “x”.

Para o nosso curso em si, essa caixa vai ser representada, nas próximas aulas como um programa. Um programa chamado Maxima, que é um programa gratuito. Vocês vão usar, ele é muito bom, roda no Windows, no Linux e no Mac e ele vai fazer esse papel para nós, nós vamos inserir números, coleções e números, vamos definir funções e vamos obter resultados interessantes com esse programa, resultados satisfatórios que irão, em última análise, dizer se nós estamos otimizando o processo de negócios ou não. Em outras palavras, é isso.

Então, vamos melhorar agora a nossa analogia. Bem, temos a caixa. Antes de mais nada, aquela coleção de números, de variáveis das quais nós escolhemos alguns números e colocamos dentro dessa caixa, parte de um conjunto, que é esse conjunto em azul.

E existe um outro conjunto em verde, que é o conjunto de valores da função. Então, temos um conjunto de partida, que é o conjunto domínio, onde nós pegamos números, valores e colocamos dentro dessa caixa - uma analogia, apenas.

E nós temos um conjunto de chegada chamado conjunto imagem que é o conjunto de todos os valores que aquela função nos devolve. Nós iremos pegar algum elemento “x” do conjunto domínio vamos inseri-lo nessa caixa que representa conceitualmente a nossa função. Ali dentro dessa caixa, eu tenho um conjunto de regras que especifica essa função.

E essa função nos devolve o quê? Um valor, “f(x)” - ou seja, “f” relacionado àquele valor “x”. - Por que “f”? É o nome da função em si.

Só que esse valor “f(x)” não pode pertencer ao mesmo conjunto de partida. O conjunto “d” é o conjunto domínio, é o conjunto de partida, é onde você pega os valores iniciais, você joga esses valores dentro desse conjunto de engrenagens - que pode estar em um programa, no computador, na calculadora, não importa, você pode até resolver manualmente. E essa função nos devolve valores associados a cada valor que você escolheu.

Por exemplo, em particular, da aula passada, aquela função que era função custo tinha esse cara: “0.02x² + 80/x”, onde “x” era a dimensão da caixa. Então, digamos que essa função representa o tipo de caixa que você está usando ou o tipo de função.

Vamos ao “Exemplo 1: otimizando o custo de uma embalagem." Nós tínhamos um conjunto “D”, um conjunto de partida, temos valores “x” nesse conjunto. Todos esses valores representam a dimensão linear da base daquela embalagem e nós obtivemos, estudando aquele problema, a função custo que era “0.02x² + 80/x”.

Na aula anterior, nós tínhamos colocado como a e não “x”. Mas, tanto faz. O nome que vocês colocarem para a variável é de sua escolha pode ser a, pode ser “b”, “x”. É que nós vamos usar, de agora em diante, “x”, que fica mais fácil.

Esses são todos os valores da função “f(x)” que você obteve. Aqui, no caso, é a “C(x)”. Mas tanto faz. É que eu quero enfatizar que o nome, na verdade, você escolhe. Você pode, no princípio, na hora de usar o programa Maxima, colocar por extenso, aqui: "custo parênteses x", por exemplo. Fica bem fácil de você lembrar o que significa.

Só lembrando que naquele problema anterior, a variável tem um significado, uma semântica. Qual é? “x” é o tamanho da base. E “C(x)” é o custo associado ao tamanho da base. Quer dizer, ambos “x” e “f(x)” não são só números, tem também uma interpretação que é devido ao seu negócio.

Conclusão da aula de hoje: as funções descrevem objetivos dos nossos negócios. Por exemplo, no negócio de exemplo foi o custo de uma embalagem. Pode ser qualquer outro negócio um pouco mais complicado.

Iremos estudá-las procurando onde estão os melhores valores dessas funções, ou seja, nós iremos usar ferramentas procurando otimização. Procurar o quê? Quais são os valores dessas funções que vão me levar ao ótimo.

Bom, pessoal. Muito obrigado.

Sobre o curso Matemática: Funções e seus usos

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