Primeiras aulas do curso Matemática: Funções e seus usos

Matemática: Funções e seus usos

Introdução às funções - Introdução

Boas vindas ao curso de Matemática: Funções e seus usos aqui na Alura!

Sou o instrutor Paulo Sérgio Custódio, doutor na área de Física e Astronomia pela Universidade de São Paulo com ênfase em Astrofísica e Cosmologia.

O objetivo dessa introdução é apresentar o panorama do curso; a primeira aula será composta de alguns tópicos, e começaremos tratando do problema de otimizar o custo de fabricação de uma embalagem.

Nosso interesse será minimizar o custo de fabricação desta embalagem, e mostraremos como modelar esse tipo de problema através de uma função.

No segundo tópico, abordaremos o conceito prático de função, que é como uma caixa preta onde adicionamos números e recebemos outros como saída.

Em seguida, falaremos de funções no ambiente Maxima que, apesar de gratuito, é um programa muito robusto e muito bom. Poderemos definir as funções, calcular valores das funções, realizar o gráfico das funções, entre outras coisas.

Juntamente com o Desmos, esses dois programas nortearão o curso. Nosso treinamento possui conceitos teóricos, mas é muito prático também.

Finalizaremos a primeira parte do curso com Previsões que poderemos obter analisando o gráfico da função, entre outras coisas.

Na segunda parte, entenderemos como uma função varia de acordo com as variáveis das quais depende. Então, é um estudo da variação da função em termos do que ela depende, logo é uma aula muito importante.

Depois de instalarmos o Maxima, veremos que é um programa muito interessante e cheio de recursos; capaz de faturar, calcular raízes e uma série de outras coisas.

É grátis e baixável por meio deste link.

Já na terceira aula, estudaremos a variação média de uma função e finalizaremos com os conceitos de domínio de função, imagem e quando uma função está inversa ou não, ou seja, quando é inversível.

Na quarta parte, encontraremos alguns exemplos de funções, como os Polinômios, Funções Trigonométricas, juros simples e compostos, e finalizaremos com a Exponencial. Também utilizaremos o programa Maxima para calcularmos as raízes em geral dos Polinômios, pois é muito bom para isso inclusive.

Finalizaremos o curso na quinta aula, onde abordaremos um modelo para o crescimento populacional, seja para população de bactérias, pessoas, animais e etc. Depois, descreveremos as considerações gerais, de onde vêm do ponto de vista profissional, motivações para seu uso, como usamos funções no dia a dia e etc. Por fim, terminamos com as conclusões.

Recomendamos que, depois de finalizar este curso de funções, se inscreva no curso de Derivadas acessível neste link o qual é a continuidade natural deste tema.

Esperamos que goste. Vamos lá!

Introdução às funções - Otimizando Custo Embalagem

Boas vindas ao nosso curso de introdução às Derivadas.

Teremos um problema prático muito interessante que irá nos motivar ao estudo das Derivadas, o qual consistirá em minimizarmos o custo de fabricação de uma embalagem.

Esta é um retângulo de base quadrada que irá conter dois litros de um suco. Quer dizer, a nossa empresa vai fabricar essas embalagens e nós vamos preenchê-la com suco.

Vamos começar com a formulação do problema: teremos uma caixa com tampa que deverá ser construída com base quadrada, de lado a e altura b em centímetros.

Esta conterá 2 litros e deverá área mínima, de modo a reduzir o custo de fabricação. Desejamos construir uma embalagem de suco que custe o mínimo por unidade para os nossos clientes.

Porém, além dessa embalagem ter que conter 2 litros, ainda deverá satisfazer ao seguinte vínculo: o fornecedor cobra um centavo por centímetro quadrado, ou seja, teremos grandes placas quadradas de cartão, desenharemos uma planificação de uma embalagem retangular e o custo será de um centavo por cm² deste desenho.

Pensando no problema, qual deverá o lado a e qual deve ser a altura b para que esse custo seja mínimo?

Desenharemos a caixa deitada de base quadrada com lado a e altura b, a qual conterá 2 litros de suco conforme sua exigência de mercado e cada centímetro quadrado da embalagem do fornecedor custará um centavo.

Representação tridimensional de uma caixa com base quadrada e faces retangulares

Chegaremos em uma etapa muito interessante do nosso problema: tentaremos que montar a formulação matemática do problema para atuarmos com ferramentas e programas para minimizarmos esse custo, e figuras nos ajudarão a montarmos essas equações.

A base da caixa é quadrada, e planificaremos esse recorte para termos o desenho que será recortado.

Esboço planificado da caixa com base e tampa quadradas iguais, e quatro faces retangulares iguais

Então, especificaremos no esboço quais serão as dimensões. Teremos o fundo da caixa sendo A(a,b) igual a porque é quadrado, sendo que o fundo e a tampa têm a mesma área.

Cada lateral tem área A(a,b) igual a a vezes b, pois a altura da caixa é b, e em princípio b é diferente de a. Para podermos montá-la corretamente, a base do retângulo da face da caixa deverá ser a.

Esboço planificado da caixa com base e tampa quadradas cuja fórmulas matemáticas da área de "A" maiúsculo igual a "a" minúsculo ao quadrado, e quatro faces retangulares de área "A" maiúsculo igual a "a" minúsculo vezes "b" minúsculo

Este é o desenho planificado no cartão que vai será recortado pelas máquinas para fabricar a embalagem.

Com o desenho, deveremos minimizar a área pois quanto maior esta for, mais custoso será.

Temos o fundo e tampa com mesma área igual a e quatro faces retangulares idênticas de área igual a ab. Então teremos uma área total A(a,b) igual 2a² + 4ab.

A(a,b) = 2a² + 4ab

A partir do desenho ou diagrama, montaremos a equação que descreverá a área da nossa figura, ou seja, da nossa embalagem. Esta dependerá das duas variáveis a e b medidas em centímetros.

Lembrando que, além do custo por centímetro quadrado, levaremos em consideração o volume de 2 litros que a caixa deverá conter. Calcularemos este volume V(a,b) com matemática básica por meio da equação da área da base vezes a altura.

Como 2L é igual a 2000cm³, 2000 será igual à área da base multiplicada pela altura b. Por enquanto, teremos duas equações para trabalharmos nesse problema.

V(a,b) = a²b = 2000

Tentaremos simplificar o modelo; temos a função área A(a,b) que depende das duas variáveis a e b. Esta é igual a 2a² relativo ao fundo e à tampa, somado com 4ab das quatro laterais. Além disso, o volume é um vínculo porque o produto da área da base vezes a altura deve ser 2000cm³.

Com isso, estudaremos a função da área A(a,b). Como nosso objetivo é minimizar o custo, o qual será proporcional à área, minimizaremos a função respeitando esse vínculo do volume.

Visto que as equações possuem as mesmas duas variáveis a e b, as simplificaremos antes de tratar o problema.

A equação que descreve o volume permite que isolemos o b em termos de a, então bastará pegarmos o e passarmos para o lado direito da equação, dividindo. Então, o parâmetro b da altura da caixa será igual a 2000 do volume dividido por .

b = 2000 / a²

Se substituirmos o valor de b na equação da área A(a,b), teremos uma função dependerá de apenas uma variável, ou seja, se depende de um número menor de variáveis, a função ficará mais simples de lidarmos e tratarmos.

Pegaremos a constante da altura da caixa e substituiremos na fórmula que descreve a área.

A(a,b) = 2a² + 4ab

Se procedermos com esse cálculo, o b valerá 2000 sobre .

A(a,b) = 2a² + 4a(2000 / a²)

Então o substituiremos e cancelaremos um a de 4a com uma potência do dentro dos parênteses, enquanto o 4 multiplicará por 2000. Finalmente, o termo 4ab original ficará somente 8000 sobre a.

A(a) = 2a² + (8000 / a)

O interessante é que teremos uma função área A(a) que descreverá a forma da caixa e dependerá de apenas uma variável, e não duas.

Portanto, se obtivermos uma simplificação e diminuirmos o número de variáveis, o problema ficará mais tratável.

Lembrando que o nosso fornecedor cobra um centavo por cm², multiplicaremos um centavo que é 0,01 do real, pela função da área, obtendo assim a função do custo C(a) proporcional à A(a). Ou seja, se a embalagem for maior, custará mais caro, e se for menor, será mais barata.

C(a) = 0.01A(a)

Desta forma, a função C(a) será a multiplicação de 0.01 pela função A(a), o que será igual a 0.02a² mais 80 dividido por a, lembrando que o a é a dimensão linear da base quadrada de lado a.

C(a) = 0.02a² + (80 / a)

A função C(a) é chamada de Função Objetiva do problema.

Formularemos o problema usando boas práticas; como queremos minimizar o custo, representaremos esta ação com a palavra-chave Min. Se quiséssemos maximizar, colocaríamos Max.

A seguir, continuaremos a tratar o problema com mais detalhes e deduziremos o valor do mínimo.

Introdução às funções - Revendo o Conceito de Função

Na aula passada, mostramos uma função custo C(a) que associava o tamanho da base de uma embalagem ao custo em reais de fabricação.

Tínhamos um valor em uma determinada função, que é uma regra operando com operações aritméticas como multiplicação, divisão, etc. Com isso, obtemos outros valores com uma interpretação, seja monetária, de custo, etc.

Conceitualmente falando, encararemos uma função como se fosse uma máquina com engrenagens que receberá números representados por x e devolverá outros números em f(x).

Teremos um número ou um objeto matemático, ou seja, uma variável. Inseriremos esse objeto nessa máquina cujas engrenagens são as operações matemáticas que vão agir sobre esse número.

Porque a analogia de uma máquina? Porque neste momento não nos interessa em detalhes saber o que está acontecendo dentro, afinal o que importa é o resultado final.

Para o nosso curso em si, essa máquina será representada como o programa gratuito Maxima, o qual roda no Windows, no Linux e no Mac.

Inseriremos coleções de números, definiremos funções e obteremos resultados interessantes e satisfatórios que irão, em última análise, dizer se estamos de fato otimizando o processo de negócios ou não.

Antes de mais nada, a coleção de variáveis das quais escolhemos alguns números colocados dentro da máquina, parte de um conjunto. Existe ainda um outro, o de valores da função.

Logo, teremos um conjunto de partida D chamado Conjunto Domínio com os valores que colocamos dentro da máquina, e um de chegada I chamado Conjunto Imagem, o qual é o conjunto de todos os valores que a função nos devolverá.

Iremos pegar algum elemento x do Conjunto Domínio e o inseriremos na máquina que representa conceitualmente a nossa função. Ali dentro, teremos as regras que especificam a função.

Essa função nos devolverá um valor f(x), ou seja, o nome da função em si f() relacionado ao valor x.

Porém, esse valor f(x) não poderá pertencer ao mesmo conjunto de partida; o conjunto D é o Conjunto Domínio de onde pegaremos os valores iniciais.

Os jogaremos dentro desse conjunto de engrenagens - que pode estar em um programa no computador, uma calculadora, ou até podemos resolver manualmente. E essa função nos devolverá valores associados a cada valor escolhido inicialmente.

Por exemplo, a função custo C(a) é igual a 0.02x² + 80/x, onde x é a dimensão da caixa. Então, essa função representará o tipo de máquina que estamos usando, ou seja, o tipo de função.

Tínhamos um conjunto de partida D com valores x dentro. Todos estes representam a dimensão linear da base daquela embalagem e, estudando o problema, obtivemos a função C(a).

Anteriormente, tínhamos colocado como a e não x, mas tanto faz, pois o nome que colocarmos para a variável será de nossa escolha. De agora em diante, usaremos x para facilitar. No programa Maxima, poderemos inclusive escrever a função por extenso, como custo(x) por exemplo, o que também facilitará a memorização.

Vale lembrar que a variável tem um significado, uma semântica; no problema anterior, o x é relativo ao tamanho da base, e C(x) é o custo associado ao tamanho da base.

Ou seja, ambos x e f(x) não são só números, pois há também uma interpretação devido ao negócio.

Concluindo, as funções descrevem os objetivos dos nossos negócios, que em nosso caso será o custo de uma embalagem, mas poderia ser qualquer outro negócio mais ou menos complicado.

A seguir, iremos estudá-las procurando onde estão os melhores valores dessas funções, ou seja, iremos usar ferramentas visando a otimização.

Sobre o curso Matemática: Funções e seus usos

O curso Matemática: Funções e seus usos possui 232 minutos de vídeos, em um total de 42 atividades. Gostou? Conheça nossos outros cursos de Computação em Programação, ou leia nossos artigos de Programação.

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