Primeiras aulas do curso Matemática: Introdução ao cálculo de derivadas

Matemática: Introdução ao cálculo de derivadas

Introdução - Introdução

Olá meus alunos, sejam muito bem-vindos ao nosso curso de derivadas da Alura. E lembrando que o nosso curso tem forte ênfase nas aplicações pra otimização e logística, portanto, ele é um curso teórico, mas, também, extremamente voltado à parte prática. Vocês vão gostar.

O meu nome é Paulo Sérgio Custódio, sou Professor Doutor formado nas áreas de Física e Astronomia pela Universidade de São Paulo.

Então vamos, deixa eu explicar pra vocês aqui qual é o panorama do curso, ou seja, o que que veremos nesse curso, porque que ele é importante. Na aula 1 eu apresento a introdução às derivadas, a derivada como a variação de uma função. Então nós temos uma função que descreve nosso ambiente de negócios, a derivada é nada mais, nada menos, do que como que essa função varia conforme o ambiente, conforme as outras variáveis, variam.

Na aula 2 nós usaremos o computador pra calcular as derivadas. Então na aula 2 eu já estimulo vocês a baixar um programa, chamado Maxima, ele é um programa gratuito, mas ele é muito bom, ele funciona nas plataformas Linux, Windows e Mac. Eu vou explicar pra vocês, direitinho, como usar essa ferramenta para calcularmos as derivadas, calcularmos também os gráficos, as funções e como que essas funções se comportam.

Deixa eu só fazer aqui uma parte e lançar um importante convite. Na plataforma Alura se encontra outro curso, de nossa autoria, chamado Funções, ele é um pré-requisito natural pro curso de Derivadas e ele é muito bom porque ele tem aplicações modernas, aplicações importantes. Eu explico lá os conceitos de gráfico, de função, o que é função, raízes das funções mais comuns.

Então ali a gente trabalha bastante esse conceito, ele é muito importante pra que a gente possa entender o que são as derivadas e pra que servem. E no curso de funções a gente também usa a ferramenta que é esse programa aí.

Na aula 3 eu dou uma visão geral das propriedades gerais de derivadas, pra que a gente possa calcular derivadas de funções um pouco mais realistas, encontradas nos ambientes de negócios.

E na aula 4 nós encerramos o curso com três aplicações importantes de derivadas, maximizando os processos de negócio.

Então vamos lá, deixa eu apresentar então pra vocês qual é a ferramenta. Bom, a ferramenta, que é o nosso programinha, chama-se Maxima, também conhecido como wxMaxima, ele se encontra aqui nesse link.

Só lembrando, ele funciona pra Linux, Mac e Windows, então serve pra todos os gostos. Ele é capaz de calcular valores das funções, gráficos, derivadas, integrais, ele faz um monte de coisa e é muito fácil de mexer com esse programa.

Então vamos lá. Na aula 1 eu explico pra vocês o que que são as derivados, o que que é a derivada em si, e como calculá-la tanto na mão quanto usando o computador. Mas, principalmente, ao longo do curso damos ênfase ao uso dessa ferramenta.

Na aula 2 aqui eu faço um Print Screen da tela desse programa e aqui eu explico direitinho na sala com vários exemplos, fornecendo algumas funções, e como o Maxima, usando uma certa sintaxe, ele calcula a derivada da função que a gente quer, ou seja sua taxa de variação. Ele dá o resultado pra gente aqui bonitinho pra todo e qualquer caso.

Na aula 3 nós investigamos as propriedades gerais de derivadas, derivadas de muitas funções, produto de funções. E aqui eu descrevo um exemplo que é o amortecedor de um automóvel, é um exemplo muito interessante aqui, essa função aqui descreve como que ele oscila e nós vamos, nessa aula, derivar essa função usando a ferramenta.

Finalmente, na aula 4, a gente encerra o curso com três problemas interessantes. Vamos maximizar a produção de uma colheita, temos como descrever esse processo. Vamos maximizar o volume de uma caixa sem tampa, ou seja, como é fabricada de modo que seu volume seja máximo dado que a gente tem que respeitar certos vínculos.

E o último exemplo é um exemplo bem top, muito importante aqui, vamos encontrar qual é a quantidade de aparelhinhos de DVD, que tem um certo custo de fabricação, tem uma certa demanda, tem uma precificação, qual é a quantidade de aparelhinhos que a nossa empresa tem que fabricar e colocar no mercado à venda para maximizarmos o lucro dessa empresa.

Então, como vocês viram, esse curso tem os conceitos matemáticos, ensinamos o aluno a usar uma ferramenta muito útil e muito fácil de ser usada, e ele é prático do começo ao fim. Então, fazendo esse curso, o aluno de Engenharia, Matemática Aplicada, Física, não importa, vai saber como calcular a derivada de todas as funções que ele quiser e como maximizar o processo desse negócio.

Então eu aguardo vocês nesse curso, eu tenho certeza que vocês vão gostar dele.

Introdução - Variação Instantânea de uma função

Olá pessoal, sejam muito bem-vindos a mais uma aula do nosso curso Introdução às Derivadas. A aula de hoje é "A variação instantânea de uma função", nesta aula nós vamos generalizar o uso, ou a definição, da variação média que fizemos na aula passada.

Bom, na aula passada nós definimos a variação média de uma função que era um estudo no qual nós escolhíamos um intervalo de estudo daquela função, nesse intervalo a função variava quer seja pra cima, quer seja pra baixo. Mas a nossa questão é: até que ponto esse critério, que é a variação média, é exata? Até que ponto esse critério é bom pra gente?

Deixa eu dar dois exemplos interessantes. Eu vou pegar um modelo de oscilação de um amortecedor, um amortecedor automotivo, a cara deles aqui. Os amortecedores automotivos têm uma fórmula que descreve a variação da oscilação da sua amplitude.

Na verdade aqui é só uma função simplificada, a variação deles é no tempo, é na variável t, não é na variável x, mas aqui tanto faz, você pode encarar o x como a variável que representa o tempo, e aqui também. Então x tem um contexto, pode ser dimensão, pode ser tempo, qualquer coisa, aqui nesse caso representa o tempo, quer dizer, conforme o tempo passa, como que a amplitude da oscilação do oscilador, do automotivo, vai variando?

Então g(x) te dá essa distância entre esses pontos. Note que o cosseno de x é devido à presença da mola. E essa exponencial, relativa à raiz quadrada de x, se relaciona ao tubo, dentro dessa mola, que contém um óleo de grande viscosidade. Então a combinação desses dois elementos aqui é que formam o amortecedor automotivo.

E os engenheiros estudaram esse dispositivo e verificaram que fórmulas, muito parecidas com essa que eu estou colocando aqui para vocês, descrevem adequadamente esse comportamento.

E aqui é uma outra função arbitrária, sem nenhum contexto a menos que x seja a mesmo variável, e eu vou comparar o gráfico dessas duas funções.

Só que olha que interessante, se eu pegar a função f, que estava lá, eu calcular aquela função f em um determinado ponto, por exemplo 5.39, - f calculado no 0 dividido pela largura desse intervalo, que é a variação média, se eu fizer o cálculo me resulta em 1. Quer dizer, a variação média daquela função anterior, qual que era f? f(x) = x + 1, a g é do amortecedor.

E se eu calcular a variação média do mesmo intervalo para o amortecedor a variação média é 1. Mas vocês notem que as duas funções eram muito diferentes, uma função era x + 1 e a outra era uma exponencial da raiz quadrada vezes o cosseno, que é uma função trigonométrica. Quer dizer, uma função não tem nada a ver com a outra, as caras são totalmente diferentes.

Então vamos até desenhar o gráfico dessas duas funções pra que vocês tenham uma ideia do quão diferente elas são. Aqui eu já me adiantei, eu escrevi a função g (x). Como é que eu escrevo exponencial no Maxima? É %e. E ele tá elevado à raiz quadrada de x.

A raiz quadrada de x vocês devem escrever assim no Maxima: sqrt(x). Vezes cos(x). Então, se vocês definirem isso, vai dar exponencial de raiz de x vezes cosseno de x. E a outra função, que é uma função feita apenas pra comparação, é x + 1.

Vamos fazer a seguinte brincadeirinha aqui, vamos fazer o gráfico dessas duas funções e vamos comparar o gráfico de cada uma delas. Então eu vou pegar o gráfico aqui da g e da f. g(x), f(x). Mesmo intervalo, vamos colocar 0 até 6 e a y de 0 até 12. Depois a gente vai ajustando, se o gráfico não ficar legal a gente dá uma regulada nesses valores.

Então não ficou muito bom porque um pedaço aqui não apareceu, mas é assim mesmo. Vamos regulando esses valores, até 12 tá bom. Mas o x que eu escolhi não tava bom porque um pedaço do gráfico não aparecia, então vamos aumentar um pouquinho a largura no eixo x.

Ah, ficou melhorzinho. Esses gráficos aqui são ajustáveis. E agora eu posso fazer uma comparação entre esses gráficos. Então eu tenho aqui a função g(x), que está em azul, e a função x + 1, que está em vermelho.

Agora é o seguinte, na verdade eu já tinha feito um cálculo em separado, bem antes, pra que eu tivesse a noção precisa de em que ponto havia intersecção entre essas duas funções. Nós temos aqui quatro pontos de intersecção entre a função g e a função f, eu vou considerar o primeiro ponto aqui.

O primeiro ponto é x = 0, corresponde a esse pontinho aqui. O terceiro ponto em que essas duas funções se equilibram, têm o mesmo valor, é aqui, fiz um cálculo da raiz, deu 5.39. Ou seja, essa função x + 1, que está em vermelho, tem o mesmo valor em 5.39 do que o valor da mesma função em azul, que é a que descreve o amortecedor automotivo, nesse ponto, quer dizer g(5.39) vale a mesma coisa que a f(5.39). É a mesma coisa no 0, aqui no 0 ambas as funções valem a mesma coisa.

Bom, mas isso tá querendo dizer pra gente seguinte coisa, como essas funções têm o mesmo valor aqui, o mesmo valor aqui, e o intervalo foi o mesmo, 5.39, o que isso quer dizer pra gente? Quer dizer que a variação média dessas duas funções, a x + 1 e g(x), nesse intervalo é a mesma, tanto que deu 1 a variação média.

Pô, mas você vai olhar pra cara dessas funções, apesar da variação média ter sido a mesma, o modo como a função azul varia é totalmente diferente da vermelha. A vermelha sempre cresce de modo linear, de modo constante, a azul não, a azul sobe, desce, sobe e desce, são funções que têm comportamentos diferentes. Então esse critério de variação média aqui, por si só, não espelha o fato de que essas duas funções tem uma variação muito diferente, tem um comportamento muito diferente.

Então vamos pegar aqui a variação média dessas duas funções, que inclusive já determinei. Eu determinei aqui uma função que eu dei um nome de varia, que depende de b e a, e calculei aqui pra f. Eu escolhi o ponto 5.39 e o ponto 0, a variação deu 1, que é a variação média. Lembrando que a f é a função x + 1.

Agora eu vou calcular essa variação média não pra f, vamos calcular pra função g. Então eu vou trocar aqui a f por g e vou calcular essa variação dentro do mesmo intervalo, deu 0.999... Quer dizer, a variação média das duas foi muito próxima, só diferiu na quinta casa decimal, depois da vírgula.

Quer dizer, a variação média delas foi, essencialmente, o mesmo. Ou seja, esse critério de variação média nem sempre espelha pra gente a verdadeira variação entre duas funções que você quer comparar, então qual é o melhor critério pra gente? É definir uma variação que não dependa do fato de que possam haver coincidências.

Que que eu faço pra eu ficar livre de coincidências, digamos assim, espúrias? Eu faço a seguinte coisa, eu pego lá a variação média, em termos da minha largurinha do intervalo como eu fiz na aula anterior, que é essa variável delta, e eu cálculo o limite em que o delta tende a zero. Ou seja, eu escolho o ponto da função, calculo a variação média daquela função naquele ponto, mas a largura do meu intervalo perto do ponto x é bem pequenininha, essa largura tá tendendo a zero.

Quando eu faço assim, a minha variação média deixa de ser variação média e se torna a variação instantânea, porque? Por que é aquela variação naquele instante em que a variável vale x. Esse é um critério que é muito mais limpo, digamos assim, ele é muito mais justo.

Se eu aplicar esse critério da variação instantânea pra essas duas funções aqui, vocês vão verificar que nunca, ou quase nunca na maioria dos casos, vai acontecer um tipo de coincidência espúria, que não nos informa nada, não traz uma informação justa. E é isso que a gente vai explorar nas próximas aulas, vamos estudar a variação instantânea.

Então que que eu vou fazer aqui? Só relembrando, eu peguei o gráfico daquela função que descreve o amortecedor. Veja que eu 0 essas duas funções valem, essencialmente, a mesma coisa, tanto a vermelha x + 1 quanto a do amortecedor. E no ponto 5.39, essencialmente, eles funções valem a mesma coisa.

Olha, se elas valem a mesma coisa nesses dois pontos e a largura do intervalo é a mesma, é 5.39, isso quer dizer que, se eu fizer a razão da diferença das cotas pela largura do intervalo, a variação média é a mesma mas as duas funções tem um comportamento completamente diferente.

Isso quer dizer que esse critério de variação média pra estudar essas duas funções, dependendo da largura dos intervalos que eu estudar, pode me levar a um equívoco de pensar que a função x + 1 tem um comportamento muito parecido com essa função, e não é verdade, globalmente, essas funções têm um comportamento muito diferente. Isso nos sugere a escolhermos o delta(x), que é a largura dos intervalos pra definir a variação média, intervalos delta(x) cada vez menores.

Na verdade, o critério se torna muito bom quando o delta(x), ou seja a largura desse intervalo, tende a zero. E nisso nós chegamos à definição da variação instantânea.

Então a variação instantânea de uma função leva à seguinte definição: "A variação instantânea da função f(x) corresponde ao limite sobre a variação média da própria f(x) quando delta(x) tende a zero". Ou seja, vocês estão lembrados que a variação média depende de duas variáveis, quais são essas duas variáveis? X, que é o ponto que eu escolho, e mais outra variável que determina a largura do intervalo, aonde eu estou estudando a variação.

Só que eu quero um critério justo, eu quero um bom critério de variação. Quando esse critério se torna melhor, mais prático? Quando o delta x, em si, tende a zero, quando eu calculo esse limite.

Quando eu calcular esse limite em que delta x tende a zero, na prática, todo esse limite aqui vai depender só do ponto x, não vai depender mais de duas variáveis, x e delta x, porque delta x tende a zero, eu sei pra quanto ele tende. E se eu comparar essa variação instantânea para funções diferentes, a comparação agora tornar-se-á extremamente justa, extremamente adequada, pra cada caso.

É isso que a gente vai explorar de agora em diante.

Introdução - Comparando Variação Media versus Instantânea

Olá meus alunos, sejam bem-vindos à mais uma vídeo aula do nosso curso, tópico 3.4, "Comparando a variação média com a instantânea". Na aula de hoje nós vamos comparar a variação média de uma função com a variação instantânea e nós vamos ver qual que é a diferença entre elas, ou seja, quando que uma é melhor do que a outra.

Bom, a questão que nós tínhamos suscitado na aula anterior era a seguinte: se a variação média é tão inexata, como podemos obter um estudo mais exato das variações? Tomando o limite em que delta tende a 0.

Se vocês estão lembrados, a variação média dependia de duas variáveis, quais eram? A escolha do ponto X no eixo horizontal, você escolhia um ponto, e o delta, que é a largura da variação que você tá escolhendo, é uma variável independente.

Ou seja, eu posso querer estar estudando, vamos lembrar daqueles exemplos que eu falava nas aulas anteriores, a variação média do PIB de um determinado país, levando-se em conta o ano com intervalos fixos. Esses intervalos fixos podiam ser um ano, podia ser seis meses, um ano e meio, dois anos, ou seja, a largura é independente do ponto que você tá escolhendo. O delta em si, o delta é essa largura.

Bom, mas o que acontece? Vocês estão lembrados que, no exemplo da vídeo aula anterior, eu tinha lá um oscilador, que era um amortecedor, e tinha uma função, que eu escolhi pra comparação, que tinha um comportamento completamente diferente, a função x + 1 crescia, a função que descrevia o oscilador ficava oscilando.

E, por incrível que possa parecer, dependendo do tipo de intervalo, ou da largura média do intervalo que você escolhia, a variação média podia coincidir, nós tínhamos encontrado um intervalo onde a variação média de x + 1 era igual a variação média da função que descrevia o oscilador automotivo.

Só que a função que descreve o oscilador automotivo é uma função assim, fica crescendo, variando, flutuando, e aquela função x + 1 ela crescia. Então uma função não tinha nada a ver com a outra. Então só um estudo de variação média sobre aquelas funções nos poderia levar a um erro.

Então vamos lá, vamos usar o Maxima pra realizarmos comparações mais justas. Então vamos pegar a seguinte função exemplo aqui, eu tenho uma função aqui do tipo x³ + 3x² + 1, eu defini essa função no Maxima e eu posso definir uma nova função, chamada variação média, que depende do ponto escolhido e do delta, o delta é a largura que define essa variação média.

Como que era mesmo a variação média? Eu pego a função(x + delta), desconto dessa função no ponto anterior e divido por delta, então essa é a variação média. Então, por exemplo, se eu quiser calcular a variação média no ponto x = 1, cuja largura desse intervalo fosse 0.55, eu tenho aqui o cálculo. Quer dizer, eu coloquei aqui o valor das duas variáveis: 1, que é o ponto que eu escolho, 0.55 é o valor do delta, é o valor da largura disso tudo que eu coloco aí.

A variação média depende do ponto que escolhi e dessa largura. Se essa largura variar, mesmo que o ponto de escolha seja mantido constante, a variação média vai variar também porque agora eu tô considerando um intervalo bem maior, de largura 3. Olha lá, eu mantive um fixo e escolhi um intervalo de largura 3.

Agora eu escolhi um intervalo de largura 2, a variação média é diferente. Agora se eu escolher um intervalo de largura 0.5, um intervalo menor, eu tenho a variação média dessa função em um intervalo de largura 0.5 cujo ponto de partida é o 1, ou seja, a partir do 1, essa é a variação média.

Bom, mas o que que era a variação instantânea? A variação instantânea eu defini na aula anterior. A variação instantânea é, justamente, a variação média no limite que o delta tende a zero, e é isso que a gente vai aplicar agora. Então vamos transformar essa variação média na variação instantânea.

Eu posso fazer de duas maneiras diferentes, uma é o seguinte: eu escolho o limite, eu escolho a expressão "variacaoMedia", só que quem que eu vou tender a zero, o x ou o delta? É o delta que se tende a zero, não é o x, o x é um ponto que eu tô escolhendo no eixo. E meu limite é considerando-se que o delta tende a zero, então esse cara aqui tem que ser o zero. Esse ponto aqui é pra onde o delta se aproxima, o delta vai se aproximar de zero.

Então aqui temos o limite sobre a variação média. Só que a gente esqueceu aqui o que? O ponto x. Então se eu fizer assim, eu não estou definindo uma função nova.

O que eu posso fazer é o seguinte, vamos definir uma função nova. Vamos dar um nome então, "variacaoInstantanea". Então essa variacaoInstantanea depende do ponto x, eu vou considerar que ela é igual o limite da variação média que depende de duas variáveis, x e delta, sendo que, quem se aproxima de zero? É o delta, não é o x, então eu vou escrever aqui delta e ele se aproxima de zero. Então essa é a nova função que eu estou definindo agora. Então aqui olha, a variação instantânea.

Como o limite opera sobre o delta, como resultado a variação instantânea não vai mais depender de delta, vai depender só de x. Então essa é uma variação mais exata, é a variação média no caso em que o delta tá ficando cada vez menorzinho, está tendendo a zero. Isso leva o nome de variação instantânea.

Vou fazer um exemplo aqui, vamos calcular a variação instantânea dessa função no ponto 1. Olha lá, é 9. Agora essa variação instantânea tem uma vantagem de que ela depende só de um ponto, é a variação ponto a ponto daquela função. É uma variação muito mais exata, porque agora ela não depende do entorno da função, ela depende só do comportamento da variação da função nas cercanias do ponto que você tá escolhendo.

Aqui eu escolhi o que? O ponto 1. Se eu escolher o ponto 3 aqui, é a variação instantânea no ponto 3. Então isso indica que o que? Que a variação instantânea dessa função f aqui, x³ + 3x² + 1, é muito mais forte no ponto 3, essa variação é 45, do que no ponto 1. Vamos comparar? Olha lá, no ponto 1 essa variação instantânea era 9, no ponto 3 aquela variação era 45.

O Maxima é muito legal, se vocês quiserem comparar vários pontos diferentes, eu posso criar uma lista. Ponto 1, ponto 2, ponto 3, sei lá, ponto 9, eu tenho uma lista aqui com quatro pontos diferentes ao longo do eixo. Olha lá, ele me devolve uma lista, que legal.

Como que eu faço a leitura agora? A variação instantânea dessa função aqui no ponto x = 1 é 9, no ponto x = 2 é 24, no ponto x = 3 é 45, e no ponto x = 9 é 297. Vejam, é variação pontinho a pontinho.

Agora essa variação não depende das cercanias da função, só depende do quanto ela varia bem perto do ponto que você escolheu. E essa variação instantânea é que leva um nome muito particular, é chamado derivada, e aí que é o ápice do nosso curso.

Bom pessoal, espero que vocês tenham gostado da aula de hoje, esse conceito é extremamente importante. Muito obrigado.

Sobre o curso Matemática: Introdução ao cálculo de derivadas

O curso Matemática: Introdução ao cálculo de derivadas possui 207 minutos de vídeos, em um total de 38 atividades. Gostou? Conheça nossos outros cursos de Computação em Programação, ou leia nossos artigos de Programação.

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